Matematikçileri İkiye Bölen “Kapı Açma – Monty Hall Problemi”

Monty Hall problemi, Amerikan TV yarışma programı Let’s Make a Deal’a dayanan bir olasılık bulmacasıdır. Problem adını, yarışmanın sunucusu Monty Hall’dan alır. İçinde bir paradoksu da barındırması nedeniyle Monty Hall paradoksu olarak da anılan problemin sonucu saçma görünmekle birlikte, ispatlanabilir ve doğrudur.

Problemin iyi bilinen bir açıklaması Parade dergisinde yayımlandı:

Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1’inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3’üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: “2. kapıyı seçmek ister misiniz?” Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır?

Yarışmacı geriye kalan iki kapıdan hangisinin kazanan olduğundan emin olamadığı için, çoğu kişi bu kapıların eşit olasılığa sahip olduğunu ve seçimi değiştirmenin hiçbir şeyi değiştirmeyeceğini sanır. Aslında, problemin klasik açıklamasına göre yarışmacı seçimini değiştirmelidir. Zira böylece arabayı bulma olasılığını 1/3’ten 2/3’e çıkarır; yani ikiye katlar.

Problemin yukarıdaki açıklaması ve çözümü Parade’de yer aldığı zaman, aralarında doktora derecesi olan yaklaşık bin kişinin bulunduğu on bin okur, dergiye yazarak çözümün yanlış olduğunu iddia etti. Bazı eleştirmenler problemin Parade versiyonunda sunucunun davranışının belli açılardan iyi şekilde açıklanmadığını; örneğin sunucunun bir kapıyı açıp böyle bir öneri yapıp yapamayacağının bilinmediğini belirtti. Öte yandan, bu gibi olası davranışların söz konusu tartışmayla bir ilgisi yoktur ya da probleme etkisi çok azdır ve bu davranış yazar tarafından açıkça belirtilmiştir. Problemin daha genel yorumları, örneğin bazı durumlarda sunucunun ardında araba olan kapıyı açabileceği, matematik eserlerinde tartışılmıştır.

Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3’tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3’tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır. Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3’tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.

Bu popüler hikâyeyi matematiksel olarak kesin bir çözüme kavuştururken, 2. ya da 3. kapıyı açmanın 1. kapının ardında araba olma olasılığını neden değiştirmediği sorulabilir. Bu soru, simetriye başvurularak yanıtlanabilir: Yukarıda yapılan varsayımlar ışığında, kapılar rastgele yeniden numaralandırılırsa ve özellikle 2 ile 3 yer değiştirirse, değişen bir şey olmaz. Dolayısıyla, arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1’i seçmesi ve Monty’nin 2’yi açması şartlı olasılığı, yine arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1’i seçmesi ve Monty’nin 3’ü açması şartlı olasılığına eşittir. Bu iki (eşit) olasılığın ortalaması 1/3’tür, bundan dolayı her birinin olasılığı da ayrı ayrı 1/3’tür.

Analiz, yarışmacının başlangıçta arabayı, keçi A’yı ya da keçi B’yi seçmesi eşit olasılıklarına göre örneklendirilerek açıklanabilir (Economist 1999):

aylakkarga-month-hall-problemi-768x608  Matematikçileri İkiye Bölen “Kapı Açma – Monty Hall Problemi” aylakkarga month hall problemi

Yukarıdaki diyagram seçimini değiştiren bir yarışmacının her zaman ilk seçiminin tam tersini elde edeceğini gösterir ve bu seçimin keçi olma olasılığı araba olma olasılığının iki katı olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman avantajlıdır. Diğer deyişle, önce keçiyi seçmiş olma olasılığı 2/3, arabayı seçmiş olma olasılığı ise 1/3’tür. Monty Hall artık “keçili kapıyı” ortadan kaldırdıktan sonra, baştan ardında keçi olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının arabayı kazanması, baştan ardında araba olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının ise keçiyi “kazanması” gerekir. Yarışmacının baştan keçiyi seçmiş olma olaslığı 2/3 olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman yararına olacaktır.

Konuyla ilgili 21 adlı filmde geçen sahne:

Biz arkadaşlar arasında bolca tartıştık ve ortak bir sonuca ulaşamadık. Siz ne düşünüyorsunuz?

kaynak: aylakkarga.com